Web pagina's van Theo Kortekaas

• Home
• English
• Onderwerpen
• Links
• Publicaties
• Downloads
• Contact

Meer over priemgetallen

Priemgetallen spelen een belangrijke rol in de wiskunde. In de getaltheorie, onderdeel van de wiskunde, nemen priemgetallen een prominente plaats in. Veel wiskundigen zijn op zoek naar een oplossing of een bewijs voor allerlei stellingen over priemgetallen.
Daaronder het "Vermoeden van Goldbach" (dat elk even getal groter dan twee de som is van twee priemgetallen) en
het vermoeden van "prime k-tuples" dat gaat over patronen in achtereenvolgende priemgetallen.
Verder is er het "Riemann-vermoeden" dat gaat over de verdeling van de priemgetallem over de natuurlijke getallen.
Dit Riemann-vermoeden (Riemann-Hypothesis) is zelfs benoemd tot een van de zeven "Millennium Problems"; problemen die bij het begin van het millennium zijn vastgesteld als meest belangrijke, nog onopgeloste wiskundige vraagstukken van deze tijd. Voor de oplossing van elk van deze wiskundige problemen is een prijzengeld uitgeloofd van één miljoen dollar.

Sommige van de vermoedens over priemgetallen zijn al eeuwen oud; het beschikbaar komen van computers rechtvaardigt de verwachting dat er nu sneller bewijzen of oplossingen zullen worden gevonden voor deze vermoedens. Want computers zijn een uitstekend hulpmiddel voor de bestudering van priemgetallen zoals blijkt uit het boek
"Prime Numbers - A Computational Perspective", waarin bij vele vraagstukken rond priemgetallen, algoritmes worden beschreven, zodanig dat daar eenvoudig computerprogramma's voor kunnen worden gemaakt.

Zo is er het "Prime Number Research Program" (PrP) dat hier kan worden gedownload. Dit Windows programma genereert priemgetallen tot 2⁶⁴; kan ondermeer priemgetallen tellen en maakt statistieken van priemgaten. Voorts kunnen de zogenaamde priem k-tuple clusters (ook constellaties genoemd) worden opgespoord met dit programma.

Een van de blijvende vraagpunten rond priemgetallen is: hoeveel priemgetallen zijn er kleiner dan of gelijk aan een bepaalde waarde x. Daarvoor heeft men een speciaal symbool ingesteld: π(x); niet te verwarren met pi als verhoudingsgetal tussen omtrek en middellijn van een cirkel. Dus π(100) betekent het aantal priemgetallen kleiner dan of gelijk aan 100.
De maximale waarde van x waarvoor π(x) kan worden vastgesteld, wordt steeds weer naar boven bijgesteld. Op dit moment (begin 2015) is de waarde π(10²⁴) vastgesteld en door een tweede onafhankelijk instantie bevestigd. Die waarde is: 18.435.599.767.349.200.867.866. Dus zoveel priemgetallen zijn er kleiner dan 10²⁴. Zie de website over het tellen van priemgetallen.

Op die website wordt een tabel gepresenteerd met aantallen priemgetallen kleiner dan een getal, waarbij dat getal een exponent is van 10. Juist omdat een computer meestal werkt in het binaire stelsel, dus met getallen met exponenten van 2, zou je verwachten dat er ook een tabel is met priemgetallen kleiner dan een getal, waarbij dat getal een exponent van 2 is. Omdat deze tabel tot nu toe niet gevonden is op internet wordt hier een begin gemaakt met een dergelijke tabel. Deze tabel loopt tot/met 2³². De opgave is om deze tabel uit te breiden tot minstens 2⁴⁸ en later misschien tot 2⁶⁴. Het Windows programma Prime Number Research Program kan hierbij behulpzaam zijn.

Beschrijving en handleiding van het Prime Number Research Programma vindt men hier.

Tabel met getallen van 1 t/m 16 bits
De enkelvoudige nul wordt als een getal geteld!

(*) Elke priemtweeling wordt voor twee geteld.
(**) 3,5,7 vormt een priemdrieling en wordt niet meegeteld bij de priemtweelingen.

Nu volgt een tabel met getallen van 17 t/m 32 bits

(*) Elke priemtweeling wordt voor twee geteld.

Nu volgt een tabel met getallen van 33 t/m 48 bits; deze tabel moet nog worden gecompleteerd.

(*) Elke priemtweeling wordt voor twee geteld.

• Home

31 december 2020