Priemgetallen zijn natuurlijke getallen, groter dan 1, die alleen deelbaar zijn door zichzelf en 1. Het eerste priemgetal is 2. Daarna volgen 3, 5, 7, 11 enz.
Priemgetallen komen betrekkelijk vaak voor. Van de eerste honderd natuurlijke getallen zijn er vijfentwintig een priemgetal. Dat is dus 25%. Dat percentage wordt lager, naarmate naar een groter aantal natuurlijke getallen wordt gekeken. Zo is het percentage priemgetallen van de eerste duizend natuurlijke getallen ruim 16, maar van de eerste miljoen getallen is dat nog geen 8%. Het is bewezen dat er oneindig veel priemgetallen zijn.
Er bestaat slechts één even priemgetal: dat is 2. Alle overige priemgetallen zijn oneven. Wanneer twee oneven priemgetallen vlak naast elkaar staan, met een even getal ertussen, dan noemt men dat een priemtweeling. Voorbeelden zijn 11 en 13; 17 en 19. Er bestaat ook een priemdrieling; drie oneven priemgetallen met telkens één even getal ertussen. Daar is er maar één van en dat is: 3,5,7. Drie opeenvolgende priemgetallen met 2 en 4 tussenruimte, of met 4 en 2 tussenruimte, noemt men ook een priemdrieling. Daar zijn er vele van.
Er zijn vier priemgetallen van één cijfer: dat zijn 2,3,5 en 7.
Er zijn 21 priemgetallen van twee cijfers:
11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89 en 97.
Het miljardste priemgetal is: 22.801.763.489. Dit priemgetal is te vinden met het programma Billions of Primes (Zie verderop)
Hier volgt een overzicht met de aantallen priemgetallen van een bepaald aantal cijfers:
(De enkelvoudige nul wordt als een getal meegeteld).
| Getal van | Aantal ver- schillende getallen |
Hiervan priemgetallen |
Hiervan priem- tweelingen(*) |
|---|---|---|---|
| 1 cijfer | 10 | 4 | Eén priemdrieling(**) |
| 2 cijfers | 90 | 21 | 12 |
| 3 cijfers | 900 | 143 | 54 |
| 4 cijfers | 9.000 | 1.061 | 340 |
| 5 cijfers | 90.000 | 8.363 | 2.038 |
| 6 cijfers | 900.000 | 68.906 | 13.890 |
| 7 cijfers | 9.000.000 | 586.081 | 101.622 |
| 8 cijfers | 90.000.000 | 5.096.876 | 762.664 |
| 9 cijfers | 900.000.000 | 45.086.079 | 5.968.388 |
| 10 cijfers | 9.000.000.000 | 404.204.977 | 47.976.346 |
| 11 cijfers | 90.000.000.000 | 3.663.002.302 | 393.926.738 |
| 12 cijfers | 900.000.000.000 | 33.489.857.205 | 3.292.418.344 |
| Totaal | 1.000.000.000.000 | 37.607.912.018 | 3.741.170.436 |
(*) Elke priemtweeling wordt voor twee geteld.
(**) 3,5 en 7 vormen een priemdrieling en worden niet meegeteld bij de priemtweelingen.
We zien dat er heel wat priemgetallen zijn, vooral bij de wat grotere getallen. Zo zijn er voldoende 12-cijferige priemgetallen om iedereen op aarde een uniek priemgetal te geven (dat zou dan een WereldBurgerServiceNummer kunnen zijn). Alle tweelingen zouden dan een uniek 12-cijferig nummer van een priemtweeling kunnen krijgen!
Er is een programma dat alle priemgetallen tot en met 12 cijfers kan laten zien. Dat is het Windows programma Billions of Primes en dat kan hier worden gedownload. In dat programma kan je ook vinden wat het miljardste priemgetal is.
Natuurlijke getallen zijn getallen 1, 2, 3, 4, 5 enz. Alle natuurlijke getallen kunnen worden ontbonden in priemgetallen óf zijn zelf priemgetal. Op die manier kunnen we de priemgetallen beschouwen als de bouwstenen van de natuurlijke getallen. Kleine getallen, zoals 36, kunnen we zonder hulpmiddelen ontbinden in factoren: 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Maar grote getallen zijn niet zonder hulpmiddelen te ontbinden. Bijvoorbeeld 2.109.662.887 = 35.381 x 59.627. De getallen 35.381 en 59.627 zijn priemgetallen; dat ontbinden hier doe je niet zomaar even uit je hoofd. Er is een Windows programma Factoring into Primes dat getallen tot 18 decimale cijfers in luttele seconden kan ontbinden in priemfactoren.
Getallen in de vorm van (2n-1)
leveren vaak een priemgetal op
voor waarden van n die zelf ook priem zijn. Een Franse Monnik was de ontdekker van dit fenomeen; hij
heeft hierover in 1644 een artikel gepubliceerd. De naam van de monnik was Marin Mersenne, en
priemgetallen van deze vorm hebben dan ook de naam Mersenne Priemgetallen gekregen. Wiskundigen zijn
altijd op zoek geweest naar nieuwe (grotere) Mersenne Priemgetallen. Deze zoektocht is in een
versnelling gekomen toen computers beschikbaar kwamen.
In 1996 startte Georg Woltman een project, waarbij, door het beschikbaar stellen van programmatuur en
gegevens, via Internet aangesloten Personal Computers van particulieren mee kunnen rekenen om
Mersenne Priemgetallen te ontdekken. Dit project heet GIMPS (the Great Internet Mersenne Prime Search) en is
te benaderen via
www.mersenne.org .
Alle nu bekende Mersenne priemgetallen kunnen worden getoond via het Windows Mersenne Prime Programma
Het grootste priemgetal dat op dit moment (januari 2018) bekend is, is een Mersenne Priemgetal van meer dan 23 miljoen decimale cijfers! Als dit getal wordt uitgeprint, dan levert dit een stapel van meer dan zesduizend velletjes A4 op, volgeprint met alleen maar cijfertjes!
Alle priemgetallen kleiner dan een biljoen kunnen worden gevonden met het programma Billions of Primes. Grotere priemgetallen kunnen worden gegenereerd met het Windows Priemgetallen Genereer Programma. Deze grotere priemgetallen worden bijvoorbeeld gebruikt bij cryptografische systemen. De grootte wordt dan meestal uitgedrukt in aantal bits. Het genereer-programma kan priemgetallen maken van 33 bits tot meer dan 1.000 bits.
De afstand tussen twee opeenvolgende priemgetallen wordt priemgat genoemd. Een andere benaming die wordt gebruikt is Priemgetal hiaat (wikipedia) maar wij blijven hier het woord priemgat gebruiken. Een priemgat is het verschil tussen het grotere en het kleinere priemgetal van twee opeenvolgende priemgetallen. Behalve het eerste priemgat (tussen het eerste en het tweede priemgetal, dus tussen 2 en 3), dat de waarde 1 heeft, zijn alle verdere priemgaten een even getal. Alle even getallen tot en met 480 (en waarschijnlijk nog veel verder) komen voor als priemgat. Ruim 9% van de priemgaten heeft een grootte van 6; daarmee is dit de meest voorkomende priemgatgrootte. (Dit geldt tenminste voor alle priemgetallen tot een biljoen). In de volgende statistiek is een telling weergegeven van het aantal priemgaten voor verschillende grootten. Het gaat om de priemgaten van alle priemgetallen tot een biljoen (1.000.000.000.000). Dat zijn 37.607.912.017 priemgaten.
Onder eenzaamheid van een priemgetal kan men verstaan hoe ver verwijderd een priemgetal is
van het eerstvolgende kleinere of grotere priemgetal. Naarmate de priemgetallen groter worden,
worden ook de priemgaten tussen de priemgetallen groter; dus neemt de eenzaamheid van priemgetallen toe.
De priemgetallen zijn echter niet regelmatig verdeeld over de natuurlijke getallen. Dit heeft tot gevolg dat ook
de afstand tussen de priemgetallen nogal willekeurig verdeeld is.
Tot een
bepaald getal is er een "eenzaamste" priemgetal, maar kijken we verder, dan zal er weer
een nieuw "eenzaamste" priemgetal worden gevonden. In dit overzicht
eenzaamste priemgetallen staan de
eenzaamste priemgetallen tot een biljoen.
Van priemtweelingen kan je nauwelijks beweren dat ze eenzaam zijn, want ze hebben elkaar; er staat maar één (even) getal tussen de twee priemgetallen. Wanneer we echter een priemtweeling als een geheel beschouwen dan kan je wel spreken van een mate van eenzaam zijn; namelijk hoever verwijderd het tweetal is van het eerstvolgende kleinere priemgetal en het eerstvolgende grotere priemgetal. Daar kan dan weer een overzicht eenzaamste priemtweelingen van gemaakt worden.
In het boek van Paolo Giordano "De eenzaamheid van de priemgetallen" worden twee priemgetallen
genoemd. Dat zijn de getallen: 2.760.889.966.649 en 2.760.889.966.651. Ze vormen een priemtweeling.
We kunnen de eenzaamheid van deze priemtweeling onderzoeken. Dat is dan de afstand van de
priemtweeling tot het eerstvolgende kleinere priemgetal en de afstand tot het eerstvolgende
grotere priemgetal.
Op grond van het overzicht hiervóór zou je verwachten dat deze afstanden toch wel
minstens 100 zouden moeten bedragen. In werkelijkheid is de afstand tot het eerstvolgende
kleinere priemgetal 46 en de afstand tot het eerstvolgende grotere priemgetal slechts 6.
Niet al te ver verwijderd van de in het boek genoemde priemtweeling bevindt zich een
priemtweeling die beduidend "eenzamer" is: 2.760.889.963.619 en 2.760.889.963.621.
De afstand tot het eerstvolgende kleinere en het eerstvolgende grotere priemgetal van deze priemtweeling
bedraagt resp. 66 en 60.